Além do Infinito: Como Cantor Provou que Alguns Infinitos São Maiores que Outros

No fim do século XVIII, havia um otimismo enorme no mundo da ciência e da matemática. Muitos acreditavam que todas as verdades poderiam ser provadas, e que o conhecimento estava próximo da completude. Foi nesse cenário que surgiu Georg Cantor, um matemático que desafiou os limites da razão ao demonstrar que existem diferentes tamanhos de infinito — uma ideia tão simples quanto revolucionária, mas que abalou profundamente as bases da matemática.

O hotel com infinitos quartos

Para explicar sua teoria, Cantor usou um raciocínio que ficou imortalizado no famoso paradoxo do Hotel de Hilbert, criado posteriormente por David Hilbert, outro grande matemático. Imagine um hotel com infinitos quartos, todos ocupados. Um novo hóspede chega — e, surpreendentemente, sempre há espaço: basta deslocar cada pessoa um quarto adiante, liberando o primeiro.
O mesmo acontece se chegar um ônibus com infinitos passageiros. Com um pouco de engenhosidade, o recepcionista consegue reorganizar os hóspedes e acomodar todos. Isso mostra que infinito + infinito ainda é infinito.

Quando o infinito não cabe no infinito

Mas Cantor foi além. Ele mostrou que, embora seja possível lidar com infinitos hóspedes, não há como acomodar todos os números decimais — aqueles que se estendem infinitamente, como 0,384882... ou 1,489383.... A razão é simples, mas devastadora: sempre é possível construir um número decimal que não esteja em nenhuma lista, por mais extensa que seja.
Essa ideia ficou conhecida como o argumento da diagonal de Cantor, provando que o conjunto dos números reais (decimais) é incontavelmente infinito, enquanto o conjunto dos números naturais (1, 2, 3, 4...) é apenas contável infinito.

Alguns infinitos são maiores que outros

Essa descoberta transformou para sempre a matemática. Se antes o infinito parecia uma barreira absoluta, Cantor mostrou que existem camadas dentro dele. O infinito dos números reais é maior que o infinito dos números naturais.

Na época, a teoria foi recebida com resistência, até mesmo com ataques pessoais contra Cantor. Muitos a consideraram absurda ou até herética. Contudo, anos mais tarde, sua genialidade foi reconhecida e premiada, e o próprio Hilbert defendeu suas ideias afirmando:
“Ninguém nos expulsará do paraíso que Cantor criou.”

Hoje, lembramos de Georg Cantor como o matemático que abriu as portas para a compreensão moderna do infinito — e que nos mostrou que até mesmo o inimaginável pode ser medido, comparado e, de certa forma, classificado.

📖 Fonte: Universal-Sci.com